Geometria e arte: i solidi platonici

Pochi anni dopo Leonardo da Vinci disegna i solidi platonici, assieme a tanti altri poliedri, a corredo del “De divina proportione” (1509) del matematico Luca Pacioli. Nei suoi splendidi acquerelli ogni poliedro è appeso con una cordicella ad un cartiglio recante il nome latino del solido stesso (alla base del foglio, invece, è riportato il nome in greco). Di ognuno ha realizzato una versione piena (solidus) e una vuota (vacuus). Ecco il tetracedron.

Segue l’exacedron.

Poi c’è l’octocedron.

E ancora il duodecedron.

E infine l’ycocedron.

Pochi anni dopo anche il tedesco Albrecht Dürer si occupa di poliedri. È celebre quello presente nell’incisione Melancolia I del 1514. Non è un solido platonico ma sembra averne tutto il fascino.

Successivamente, con il suo “Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt” (1525) (Istruzioni per misurare con riga e compasso) Dürer disegna lo sviluppo di alcuni poliedri, cioè la figura piana che si ottiene separando alcuni spigoli tra le facce. Ecco lo sviluppo del dodecaedro e le sue viste di fianco e dall’alto.

Qualcosa di simile è stato prodotto anche da Augustin Hirschvogel, un artista e matematico tedesco, autore del trattato “Geometria” (1543) da lui stesso illustrato.

Decisamente più artistiche sono le tavole di Lorenz Stoer contenute nel suo Geometria et Perspectiva (1567). In questo caso i solidi platonici sono ambientati dentro paesaggi geometrici che sembrano anticipare le visioni matematiche di Escher.

Dopo la metà del secolo è il turno dell’incisore tedesco Wenzel Jamnitzer che nel suo “Perspectiva corporum regularium” (1568) analizza tutte le possibili varianti dei cinque solidi platonici, incluse le versioni stellate o troncate (cioè con i vertici tagliati). Il totale è di ben 120 poliedri: un’immaginifica collezione di forme impensabili che si colloca esattamente a metà tra scienza e arte e che vuole dimostrare l’assunto di Platone e cioè che ogni solido discende dai cinque originari. Queste sono due tavole con alcune variazioni sull’icosaedro.

Mentre questi sono alcuni esempi di variazioni del dodecaedro.

Osservare questi disegni è provare visivamente la vertigine del calcolo combinatorio, con la differenza che le possibilità di trasformazione dei solidi platonici sono potenzialmente infinite.

Della stessa epoca, ma di autore ignoto, sono alcuni disegni acquerellati in cui poliedri più o meno complessi sono accompagnati da uccelli o altri piccoli animali. L’effetto, delicato e straniante allo stesso tempo, è incredibilmente surreale.

Pochi anni dopo, le teorie di Platone verranno riprese da Keplero che nel suo “Mysterium Cosmographicum” (1597) immagina il sistema solare come un insieme concentrico di solidi platonici, le cui proporzioni determinano le distanze e le posizioni dei pianeti. La rappresentazione grafica di questo concetto è stata realizzata da Christophorus Leibfried.

Con “Harmonices Mundi” del 1619 Keplero torna ad occuparsi dei solidi platonici alla ricerca del concetto di armonia e bellezza geometrica. È in questo testo che teorizza i poliedri non convessi (inclusi quelli stellati) che oggi portano il suo nome.

Nel 1900 è la volta del matematico tedesco Max Brücker, autore di “Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte” (Poligoni e poliedri: teoria e storia). Il suo testo, una summa di tutto ciò che si sapeva fino a quel momento sulla materia, è accompagnato da centinaia di incisioni e dalle foto di 146 spettacolari modelli in carta dei vari solidi.

I solidi platonici e le loro versioni stellate saranno una delle passioni di Maurits Cornelis Escher. E proprio “Stelle” si intitola una xilografia del 1948 in cui l’artista olandese mette assieme il camaleonte, simbolo di trasformazione, il concetto platonico di eterna perfezione dei poliedri e l’evocazione del cosmo. Il solido centrale, vuoto come quelli di Leonardo, è un originale incastro di tre ottaedri.

Quello di “Stelle” non è l’unico poliedro nato da un incastro. In questo schizzo Escher è riuscito a mettere assieme ben cinque tetraedri! Solo grazie al colore riusciamo a individuare i singoli solidi che lo compongono.

Con “Cristallo”, del 1947, Escher incastra un cubo e un ottaedro per creare un oggetto dalla geometria purissima da contrapporre alla massa informe della ghiaia. Di questi solidi quasi astratti l’artista diceva: “Essi simbolizzano il desiderio di armonia e di ordine dell’uomo, ma nello stesso tempo la loro perfezione desta in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolari non sono invenzioni della mente umana, perché esistevano molto prima che l’uomo comparisse sulla scena“.

La stessa esaltazione della perfezione dei poliedri è il tema di “Contrasto (ordine e caos)” del 1950. Il solido, un dodecaedro stellato quasi trasparente, è parzialmente inglobato in una sfera di vetro. Attorno a questo simbolo di bellezza matematica solo oggetti rotti, a rappresentare il caos che si contrappone all’ordine.

In tempi più recenti si trovano i dipinti di Lucio Saffaro, pittore, scrittore e matematico che tra gli anni Ottanta e Novanta ha fatto dei solidi platonici e delle loro varianti i soggetti unici di tele dal sapore metafisico.

Questi solidi, così nitidi, così assoluti, confermano il pensiero di Bertrand Russel a proposito del rapporto tra matematica e arte: “La matematica, vista dalla giusta angolazione, possiede non solo verità ma anche suprema bellezza, una bellezza fredda e austera, come quella della scultura, sublimamente pura e capace di una perfezione austera, come solo la grande arte può mostrare“.